![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Ну, дак что там с теоремой Геделя.
Короче, так.
Берется некоторая система понятий. Любых каких-то понятий, связанных между собой. Например, вот натуральные числа с аксиомами Пеано. Или можно что-нибудь -- у нас один лектор любил -- из овощей соорудить. Какое-нибудь поле из помидоров и огурцов, неважно.
На этой системе мы определяем язык. Язык -- это набор символов, соответствующих понятиям системы, и правила связывания этих символов между собой. Например, у нас есть система букв и слов, мы определяем на ней язык. Например, русский. И на этом языке можно строить высказывания.
Теперь мы определяем синтаксическую правильность и семантическую истинность высказывания. Синтаксически правильное высказывание -- соответствует правилам языка. Например, в языке иврите определение следует после определяемого, и слово "небо" склоняется по двойственному числу мужского рода: высказывание "шамаим еруким" будет синтаксически правильно. А вот семантически, по смыслу, оно истинным не будет. Истинным не будет, потому что небо не зеленое, а синее. В нашей системе понятий.
Теперь мы говорим: если в нашей системе любую истину -- семантически верную вещь -- можно сказать на нашем языке грамотно, синтаксически правильно, то наша система называется полной.
А если в нашей системе любая правильно сказанная фраза по смыслу истинна, то система наша непротиворечива.
И мы доказываем, что наша система полная. Неважно, как -- доказываем. Наша система -- полная. В ней любую истину можно высказать.
А непротиворечива ли наша система?
И говорим на нашем языке фразу -- обозначим ее буквой Г: "В нашей системе есть высказывание, которое правильно, но ложно."
И получается такая штука: высказывание Г очевидно правильно -- оно соответствует правилам построения высказываний в нашем языке. В данном случае, русском. Стало быть, если это высказывание истинно, то оно ложно. А если оно ложно -- то оно истинно.
И получается, что как только система становится такой мощной, что в ней становятся возможны вопросы о самой системе, как в ней появляется высказывание, о котором на основании его синтаксиса нельзя сказать, истинное оно или ложное.
Гедель взял за систему так называемые основания математики -- вам не нужно точно знать, что это такое -- и математически доказал -- вам не нужно точно понимать, как -- что из этих оснований принципиально нельзя вывести все математические истины на свете. Именно потому, что хотя бы одну истину не удастся ни доказать, ни опровергнуть -- это то, что в этой системе есть такое высказывание, которое правильно, но ложно.
Берется некоторая система понятий. Любых каких-то понятий, связанных между собой. Например, вот натуральные числа с аксиомами Пеано. Или можно что-нибудь -- у нас один лектор любил -- из овощей соорудить. Какое-нибудь поле из помидоров и огурцов, неважно.
На этой системе мы определяем язык. Язык -- это набор символов, соответствующих понятиям системы, и правила связывания этих символов между собой. Например, у нас есть система букв и слов, мы определяем на ней язык. Например, русский. И на этом языке можно строить высказывания.
Теперь мы определяем синтаксическую правильность и семантическую истинность высказывания. Синтаксически правильное высказывание -- соответствует правилам языка. Например, в языке иврите определение следует после определяемого, и слово "небо" склоняется по двойственному числу мужского рода: высказывание "шамаим еруким" будет синтаксически правильно. А вот семантически, по смыслу, оно истинным не будет. Истинным не будет, потому что небо не зеленое, а синее. В нашей системе понятий.
Теперь мы говорим: если в нашей системе любую истину -- семантически верную вещь -- можно сказать на нашем языке грамотно, синтаксически правильно, то наша система называется полной.
А если в нашей системе любая правильно сказанная фраза по смыслу истинна, то система наша непротиворечива.
И мы доказываем, что наша система полная. Неважно, как -- доказываем. Наша система -- полная. В ней любую истину можно высказать.
А непротиворечива ли наша система?
И говорим на нашем языке фразу -- обозначим ее буквой Г: "В нашей системе есть высказывание, которое правильно, но ложно."
И получается такая штука: высказывание Г очевидно правильно -- оно соответствует правилам построения высказываний в нашем языке. В данном случае, русском. Стало быть, если это высказывание истинно, то оно ложно. А если оно ложно -- то оно истинно.
И получается, что как только система становится такой мощной, что в ней становятся возможны вопросы о самой системе, как в ней появляется высказывание, о котором на основании его синтаксиса нельзя сказать, истинное оно или ложное.
Гедель взял за систему так называемые основания математики -- вам не нужно точно знать, что это такое -- и математически доказал -- вам не нужно точно понимать, как -- что из этих оснований принципиально нельзя вывести все математические истины на свете. Именно потому, что хотя бы одну истину не удастся ни доказать, ни опровергнуть -- это то, что в этой системе есть такое высказывание, которое правильно, но ложно.