Ну, дак что там с теоремой Геделя.

[pechkin]

Короче, так.

Берется некоторая система понятий. Любых каких-то понятий, связанных между собой. Например, вот натуральные числа с аксиомами Пеано. Или можно что-нибудь -- у нас один лектор любил -- из овощей соорудить. Какое-нибудь поле из помидоров и огурцов, неважно.

На этой системе мы определяем язык. Язык -- это набор символов, соответствующих понятиям системы, и правила связывания этих символов между собой. Например, у нас есть система букв и слов, мы определяем на ней язык. Например, русский. И на этом языке можно строить высказывания.

Теперь мы определяем синтаксическую правильность и семантическую истинность высказывания. Синтаксически правильное высказывание -- соответствует правилам языка. Например, в языке иврите определение следует после определяемого, и слово "небо" склоняется по двойственному числу мужского рода: высказывание "шамаим еруким" будет синтаксически правильно. А вот семантически, по смыслу, оно истинным не будет. Истинным не будет, потому что небо не зеленое, а синее. В нашей системе понятий.

Теперь мы говорим: если в нашей системе любую истину -- семантически верную вещь -- можно сказать на нашем языке грамотно, синтаксически правильно, то наша система называется полной.

А если в нашей системе любая правильно сказанная фраза по смыслу истинна, то система наша непротиворечива.

И мы доказываем, что наша система полная. Неважно, как -- доказываем. Наша система -- полная. В ней любую истину можно высказать.

А непротиворечива ли наша система?

И говорим на нашем языке фразу -- обозначим ее буквой Г: "В нашей системе есть высказывание, которое правильно, но ложно."

И получается такая штука: высказывание Г очевидно правильно -- оно соответствует правилам построения высказываний в нашем языке. В данном случае, русском. Стало быть, если это высказывание истинно, то оно ложно. А если оно ложно -- то оно истинно.

И получается, что как только система становится такой мощной, что в ней становятся возможны вопросы о самой системе, как в ней появляется высказывание, о котором на основании его синтаксиса нельзя сказать, истинное оно или ложное.

Гедель взял за систему так называемые основания математики -- вам не нужно точно знать, что это такое -- и математически доказал -- вам не нужно точно понимать, как -- что из этих оснований принципиально нельзя вывести все математические истины на свете. Именно потому, что хотя бы одну истину не удастся ни доказать, ни опровергнуть -- это то, что в этой системе есть такое высказывание, которое правильно, но ложно.

Comments

pochitay, tebe ponravitsya

[dlina.livejournal.com]

http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/lm.html

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Думаю, что стоит различить между синтактической правильностью и доказуемостью и между языком и системой доказательств. Язык определяет набор символов и то, какие комбинации из них синтактически правильны. Система доказательства опрделяет, когда для данного синтактически правильного высказывания данный набор символов считается доказательством. Будем предполагать, что в языке для любого синтактически правильного высказывания есть способ построить другое высказывание, называемое отрицанием первого. Доказательство отрицания некоторого высказывания будем называть опровержением опровержением высказывания. Система доказательства называется непротиворечивой, если ни у одного синтаксически верного высказывания нет одновременно доказательства и опровержения. Система называется полной, если любое синтаксически верное высказывание имеет либо доказательство, либо опровержение. Теорема Геделя утверждает, что при некоторых условиях система не может быть одновременно полной и непротиворечивой.

А вообще, для гуманитарного семинара, по-моему, было бы интереснее поговорить о необходимости различать язык и мета-язык на примере "парадокса Сколема"

[pechkin.livejournal.com]

Ну, не я же выбирал тему. Я вообще туда попал случайно, и к началу, естественно, опоздал. Видимо, все ключевые моменты были решены до моего прихода.

[pechkin.livejournal.com]

А за поправки спасибо: если их довести до уровня, на котором их будет готов воспринимать принципиальный гуманитарий, они очень помогут.

[padonodap.livejournal.com]

Я вот чего не понимаю.
Предположим, критерий истинности - соответствие правилам системы, в случае языка - синтаксису. Это то, что я увидел из объяснений.
Но любое правило - это обобщение, абстракция, имеющая дело с определенными подборками фактов и игнорирующая факты, плохо объяснимые в ее рамках. Так возникают исключения. Иными словами, никакое обобщение не может достаточно точно описать непосредственный опыт, не переходя для этого к другим обобщениям.

Итак, вся путаница, как мне кажется, возникает из-за двойного смысла критерия истинности утверждения. Оно соответствует формальным правилам, не соответствуя фактам; значит, в рамках системы оно - истинно, если взять за основу систему, а не непосредственное восприятие. Это попытка смотреть сразу с двух точек зрения: изнутри и извне системы. Но ведь очевидно, что система не может быть такой, чтобы взгляд "извне" всегда совпадал с взглядом "изнутри".

Поэтому, если разложить "истинность" утверждения на его "правильность" - как логическую непротиворечивость, и "реальность", как соответствие опыту, противоречие должно сняться. Или я ошибаюсь?

[logpoint.livejournal.com]

Хм. Мне вот показалось, что совершенно необязательно даже вводить фразу Г.
Потому как полная система совершенно необязательно непротиворечива в принятых терминах. Просто потому, что взаимно однозначного соответствия между полнотой и непротиворечивостью не установлено.
А в логике именно казусы ссылаются сами на себя. Типа парикмахеров :)